指数分布とは ― 「次に起きるまで」の待ち時間を見積もる

1. この記事で学べること

いちこ

今回は「指数分布」について学んでいきましょう〜

2. エピローグ

バス停で、時刻表のないバスを待っていたことがあった。

「次のバスは何分後に来るんだろう？」

過去の経験では、平均10分間隔で来ることが多かった。 でも今日は、待てど暮らせど来ない。

15分待って、ようやく来た。

「平均10分のはずなのに、今日は15分もかかった」

よく考えると、バスの来る間隔は毎回きっちり10分ではなく、5分のときもあれば20分のときもある。 「平均10分」というのは、あくまで長い目で見たならしの値であって、毎回の待ち時間はそのまわりでバラつく。

シュン

平均10分でも、毎回ぴったり10分ってわけじゃないんだよね。

友人からのLINEの返信を待っていたときも、似たような感覚があった。

「次の返信、いつ来るかな」

すぐ返ってくることもあれば、数時間待つこともある。

過去のやり取りを振り返ると、平均すると30分くらいで返信が来ることが多かった。 でも「次も必ず30分後」とは限らない。5分で来ることもあれば、2時間かかることもある。

・バスを待つ時間 ・LINEの返信を待つ時間

2つに共通しているのは、 「次に何かが起きるまでの時間」を扱っているということだ。

この「次の発生までの待ち時間」を扱う分布が、指数分布だ。

3. 指数分布とは何か

指数分布とは、ある出来事が平均してどれくらいの間隔で起きるかが分かっているときに、次に起きるまでの待ち時間の確率を表す分布だ。

使われる場面

• 次の問い合わせが来るまでの時間
• 次の商談が入るまでの時間
• 機械が次に故障するまでの時間

いずれも「次にいつ起きるか分からないが、平均的な間隔は分かっている」という共通点がある。

4. 図で見る

平均待ち時間10分のバスについて、待ち時間ごとの確率を見てみる。

平均10分と分かっていても、5分以内に来る確率は約39%しかなく、逆に15分以上待つ可能性も一定程度ある。 「平均」は、毎回ぴったりその時間になることを意味しないと分かる。

シュン

面白いことに、それまで待った時間に関係なく、次に来る確率的な性質は変わらないんだ。

ここで2つのことを覚えておいてほしい。

① 平均間隔が分かれば、待ち時間の見通しが立つ 「平均10分に1回起きる」と分かれば、次に起きるまでの時間について、確率的な見通しを立てられる。

② 平均より早く・遅く起きることは珍しくない 平均はあくまで長期的なならしの値で、毎回の実際の間隔は短くも長くもなり得る。

5. まとめ

いちこ

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