母比率・母分散の区間推定

母比率・母分散の区間推定とは ― 営業マネジャーのための「割合やばらつきを幅で示す」

1. この記事で学べること

2. エピローグ

アンケートで「満足」と答えた人が、120人中78人。

割合にすると65%。

でも、別の120人に聞けば63%や68%になるかもしれない。

「65%」という一点ではなく、「だいたい何%から何%か」で示したい。

いちこ

割合も、平均と同じで幅で示せるんですね。

シュン

そう。平均だけじゃなく、割合やばらつきにも「幅」=区間推定があるんだ。使う分布がそれぞれ違うだけでね。

品質のばらつきでも同じだ。

ある工程の仕上がりのばらつき(分散)を、サンプルから見積もる。

サンプルごとに値は変わるので、ばらつきそのものも幅で捉えたい。

いちこ

ばらつきの大きさにも、信頼区間があるんですね。

シュン

あるよ。割合・ばらつき・相関、それぞれの区間推定を見ていこう。

満足度の割合も、工程のばらつきも、知りたいのは「点ではなく、どのくらいの幅か」だ。

平均以外の母数を幅で示すのが、母比率・母分散の区間推定だ。

3. 母比率・母分散の区間推定とは何か

母平均の区間推定は信頼区間で扱った。考え方は同じで、対象が割合やばらつきに変わる。

• 母比率の区間推定 … 標本比率を中心に、正規近似(z)で幅をつける
• 母分散の区間推定 … 標本分散を使い、カイ二乗分布で非対称な幅をつける
• 相関係数の区間推定 … 変換を使って幅を求める(2級では考え方を押さえる)

割合の検定は母比率の検定、ばらつきの検定は

母分散で使う分布はカイ二乗分布を参照。

4. 図で見る

営業で、直近100件の受注率を区間推定してみる。点推定は28%。

• 点推定は28%だが、95%信頼区間は約19〜37%と幅がある。
• 件数が増えるほど、この幅は狭くなる。
• 「28%です」より「19〜37%のどこか」のほうが、意思決定を誤りにくい。

覚えておきたいのは2つ。

① 割合もばらつきも、点でなく幅で示すと過信を防げる。

② 母数の種類で使う分布が変わる(割合=z、分散=カイ二乗)。

必要な件数と幅の関係はサンプルサイズ設計とセットで考える。

5. 計算式

シュン

教科書的な計算式も紹介しておくね。

いちこ

シーン別の記事では、プロンプトも紹介してくれてますね。まさに生成AIに頼るところですね！

母比率の信頼区間(正規近似)

母分散の信頼区間(カイ二乗分布、自由度 n−1)

• $\hat{p}$: 標本比率、$s^{2}$: 標本分散、$n$: 件数
• 分散はカイ二乗分布が非対称なため、区間も左右非対称

生成AIに渡せば10秒で計算できる。手計算は不要。

6. まとめ

母平均は信頼区間、検定側は

いちこ

この統計テーマを使った事例記事も見てみてね♪

• 営業の目標設定 ― 目標を幅で置く実践
• 母分散の検定 ― ばらつきを検定で確かめる
• サンプルサイズ設計 ― 幅を狭めるのに必要な件数