不偏性・一致性

不偏性・一致性とは ― 営業マネジャーのための「その推定、信じていい測り方か」

1. この記事で学べること

2. エピローグ

体重計が、どうも2kg多く表示される。

毎朝ちゃんと測っているのに、いつも実際より重く出る。

これは「測るたびにバラつく」問題ではない。

毎回きまって上にズレる=系統的な偏りだ。

何回測っても、この体重計の平均は真の体重に一致しない。

いちこ

バラつきじゃなくて、いつも同じ方向にズレてるのが問題なんですね。

シュン

そう。偏りのある測り方は、何回繰り返しても真の値に寄っていかない。この「偏りのなさ」を統計では不偏性っていうんだ。

アンケートでも思う。

友人5人に聞いた満足度と、500人に聞いた満足度。

5人だと、たまたま機嫌のいい人ばかりだと大きく上振れする。

でも人数を増やすほど、結果は本当の満足度に近づいていく。

いちこ

数を増やすほど、真の値に近づくんですね。

シュン

その性質が一致性だよ。不偏性と一致性、この2つが「信じられる測り方」の条件なんだ。

体重計の偏りと、アンケートの人数。

推定量が良いかどうかは、この2つの性質で測る。

3. 不偏性・一致性とは何か

推定量(データから母数を見積もる計算)の良さを測る、代表的な2つの性質だ。

• 不偏性 … 推定量の期待値が、真の母数に一致する(平均すればズレない)
• 一致性 … 標本サイズnを大きくすると、推定量が真の母数に近づいていく

標本平均は、母平均の不偏かつ一致な推定量だ。

一致性の「数を増やすと真の値に近づく」感覚は、大数の法則そのものだ。

注意したいのは分散の推定だ。標本分散は n ではなく n−1 で割ると、母分散の不偏推定量になる。

推定の全体像は統計的な推測を先に読むと位置づけがわかる。

4. 図で見る

営業で、受注額の平均を推定する場面を考える。

少ない件数だと推定はブレるが、件数を増やすほど真の平均(母平均500万とする)に近づいていく。これが一致性だ。

• 件数が少ないと推定はブレる(ただし方向は偏っていない=不偏)。
• 件数を増やすほど真の平均に収束していく(一致性)。
• もし測り方に偏りがあると、いくら件数を増やしても真の値からズレたまま。

覚えておきたいのは2つ。

① 偏り(不偏でない)は件数を増やしても消えない。測り方・集め方をまず疑う。

② バラつきは件数を増やせば小さくできる(一致性)。

件数と誤差の関係は標準誤差で具体的に測れる。

5. 計算式

シュン

教科書的な計算式も紹介しておくね。

いちこ

シーン別の記事では、プロンプトも紹介してくれてますね。まさに生成AIに頼るところですね！

不偏性(推定量θ̂の期待値が母数θに一致)

一致性(nを大きくすると母数θに確率収束)

母分散の不偏推定量(n−1で割る)

• $\hat{\theta}$: 推定量(標本から計算した値)
• $\theta$: 真の母数

生成AIに渡せば10秒で計算できる。手計算は不要。

6. まとめ

数を増やす効果は大数の法則、誤差の大きさは

いちこ

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