確率変数の和と分散

確率変数の和と分散とは ― 営業マネジャーのための「2つを足したとき、どうブレるか」

1. この記事で学べること

2. エピローグ

サイコロを2つ振って、出目の合計を見る。

合計の「平均」は、1つの平均を2つ足すだけでいい。

ではブレ(ばらつき)はどうか。

2つは互いに影響しないので、ばらつきも素直に足し合わせられる。

いちこ

平均は足すだけ、ばらつきも足すだけ…いつもそうなんですか?

シュン

平均はいつも足し算でいいんだ。でもばらつきは「2つが独立してるとき」だけ単純に足せる。関係があると話が変わるんだよ。

通勤でも考える。

往路と復路の所要時間を足した「1日の移動時間」のブレを知りたい。

渋滞の原因が別々(独立)なら、2つのばらつきを足せばいい。

でも、朝混む日は夜も混む、のように連動していると、合計のブレはもっと大きくなる。

いちこ

連動していると、ブレが単純な足し算より大きくなるんですね。

シュン

その連動の分を表すのが共分散だよ。確率変数の和のばらつきを、正しく出せるようになろう。

サイコロの合計も、1日の移動時間も、知りたいのは「2つを足したとき、平均とばらつきがどうなるか」だ。

これを扱うのが確率変数の和と分散だ。

3. 確率変数の和と分散とは何か

確率変数とは、結果が確率的に決まる数のことだ。1つの変数の期待値(平均)と分散は、そこで扱った。

2つの確率変数XとYを足したとき、

• 和の期待値は、つねに E[X+Y] = E[X] + E[Y]
• 和の分散は、V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X,Y)

XとYが独立なら共分散Cov(X,Y)は0になり、分散も単純な足し算でよい。

共分散は2つの変数が一緒に動くかを表す量で、相関係数の分子にあたる。

独立かどうかの考え方は条件付き確率も参照。

4. 図で見る

営業で、2つの商材A・Bの受注額の合計を考える。それぞれの分散が100(万円²相当)だとする。

2商材が独立に売れるときと、正の相関(一緒に伸びる)があるときで、合計のばらつきは変わる。

• 独立なら、分散は 100+100 = 200。
• 正の相関(共分散+50)があると、200+2×50 = 300 に増える。
• 逆に負の相関なら、合計のばらつきはむしろ小さくなる。

覚えておきたいのは2つ。

① 平均(期待値)は、関係があってもなくても足すだけ。

② ばらつき(分散)は、連動(共分散)の分だけ増減する。独立のときだけ単純に足せる。

ポートフォリオの考え方(負の相関で全体のブレを抑える)は、受注率のばらつきとも通じる。

5. 計算式

シュン

教科書的な計算式も紹介しておくね。

いちこ

シーン別の記事では、プロンプトも紹介してくれてますね。まさに生成AIに頼るところですね！

和の期待値(つねに成立)

和の分散(共分散の項が入る)

• $\mathrm{Cov}(X,Y)$: XとYの共分散(一緒に動く度合い)
• 独立なら $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ で、分散は足し算になる

生成AIに渡せば10秒で計算できる。手計算は不要。

6. まとめ

1変数は期待値、連動の指標は

いちこ

この統計テーマを使った事例記事も見てみてね♪

• 受注率のばらつき ― 合計のブレを実務で捉える
• 正規分布 ― 和が正規に近づく性質とつながる
• 中心極限定理 ― 多数の和・平均のばらつき