負の二項分布

負の二項分布とは ― 営業マネジャーのための「目標件数に届くまで何回必要か」

1. この記事で学べること

2. エピローグ

スマホのゲームで、狙いのキャラを3体そろえたい。

1回引いて当たる確率は10%。

では、3体そろうまでに何回引くことになるのか。

運が良ければ早いが、悪ければ延々と引き続けることになる。

「3体そろうまでの回数」は、1つに決まらず、分布として散らばる。

いちこ

3体そろうまでの回数って、運しだいで大きく変わりますね。

シュン

そう。しかも「1体そろうまで」より「3体そろうまで」のほうが、回数のばらつきも大きくなる。この回数の分布に名前がついているんだ。

くじ引きでも同じだ。

当たりくじを2枚集めるまで、何回引くか。

1枚目は早く出ても、2枚目がなかなか出ないこともある。

「目標の枚数に届くまでの回数」は、確率的に散らばる。

いちこ

目標の数に届くまでの回数を、見込みで語れると助かりますね。

シュン

それを表すのが負の二項分布だよ。

ガチャで3体そろえるのも、くじで2枚集めるのも、知りたいのは「目標の成功数に届くまでの回数」だ。

この回数の分布が負の二項分布だ。

3. 負の二項分布とは何か

負の二項分布とは、成功確率pの試行で、成功がちょうどr回起こるまでに必要な試行回数の分布だ。

r=1、つまり「初めて成功するまで」の場合が幾何分布で、負の二項分布はその一般化にあたる。

「n回中k回成功」の二項分布とは、固定するもの(回数か成功数か)が逆だと考えると整理しやすい。

• 二項分布 … 試行回数nを固定して、成功回数を見る
• 負の二項分布 … 成功回数rを固定して、必要な試行回数を見る

4. 図で見る

営業で、受注を3件取るまでに必要な商談数を考える。1件あたりの受注率は30%とする。

• 最短の3〜5件で済む確率は約24%。運が良いケース。
• 6〜8件あたりが最も起きやすい。
• 13件以上かかることもある。回数は大きく散らばる。

覚えておきたいのは2つ。

① 目標件数に届く商談数は1つに決まらず、分布で考える。

② 期待値(平均的に必要な回数)は r/p で見積もれる。

1件あたりの成功をどう捉えるかは確率の基礎に戻ると整理できる。

5. 計算式

シュン

教科書的な計算式も紹介しておくね。

いちこ

シーン別の記事では、プロンプトも紹介してくれてますね。まさに生成AIに頼るところですね！

r回目の成功がちょうどk回目の試行で起こる確率

• $p$: 1回あたりの成功確率
• $r$: 目標とする成功回数
• $k$: 必要な試行回数(k ≥ r)

平均的に必要な試行回数(期待値)は r/p。受注率30%で3件なら 3/0.3 = 10件が目安。

生成AIに渡せば10秒で計算できる。手計算は不要。

6. まとめ

初回成功までは幾何分布、回数固定の成功数は

いちこ

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• 営業の目標設定 ― 目標件数に必要な商談数を見込む
• 期待値 ― 平均的に必要な回数を計算する
• セミナー効果の検証 ― 成約までの回数を確率で捉える